众文网1.均值不等式及应用
4/x+9/y=1，解个x出来：
4/x=1-9/y ,
4=(1-9/y)*x ,
x=4/(1-9/y) ,
由均值不等式：
4/x+9/y >= 2*根号（36/xy）
把前面解的x带到均值不等式左边：
4/[4/(1-9y)]+9/y >= 2*根号（36/xy）
化一下，左边剩个1:
1 >= 2*根号（36/xy）,
1/2 >；= 根号（36/xy）,
平方：
1/4 >= 36/xy ,
1/144 >= 1/xy ,
因此，xy>=144
C
2.什么是均值不等式
【均值不等式的简介】
概念：
1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+。+1/an)
2、几何平均数：Gn=(a1a2。an)^(1/n)=n次√（a1*a2*a3*。*an）
3、算术平均数：An=(a1+a2+。+an)/n
4、平方平均数：Qn=√ [（a1^2+a2^2+。+an^2）/n]
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号
均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[(a1^r+a2^r+。an^r)/n]^(1/r)（当r不等于0时）；
(a1a2。an)^(1/n)（当r=0时）（即D(0)=(a1a2。an)^(1/n))
则有：当r<s时，D(r)≤D(s)
注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)
●【均值不等式的变形】
(1)对正实数a,b，有a²+b²≥2ab （当且仅当a=b时取“=”号），a²+b²>0>-2ab
(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√（a*b）≥0，即（a+b）/2≥√（a*b）≥0
(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√（a*b）
(4)对实数a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b)
(5)对非负数a,b，有a²+b²≥2ab≥0
(6)对非负数a,b，有a²+b² ≥½*（a+b）²≥ab
(7)对非负数a,b,c，有a²+b²+c²≥1/3*(a+b+c)²
(8)对非负数a,b,c，有a²+b²+c²≥ab+bc+ac
(9)对非负数a,b，有a²+ab+b²≥¾*a+b）²
2/(1/a+1/b)≤√ab≤a+b/2≤√（（a²+b²）/2)
●【均值不等式的证明】
方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等
下面介绍个好理解的方法
琴生不等式法
琴生不等式：上凸函数f(x),x1,x2,。xn是函数f(x)在区间（a,b）内的任意n个点，
则有：f[(x1+x2+。+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+。+f(xn)]
设f(x)=lnx,f(x)为上凸增函数
所以，ln[(x1+x2+。+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+。+ln(xn)]=lnn次√（x1*x2*。*xn）
即（x1+x2+。+xn）/n≥n次√（x1*x2*。*xn）
●【均值不等式的应用】
例一 证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0)
证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*3次√（√x）*（√x）*(1/x)=3
所以，2√x≥3-1/x
例二 长方形的面积为p，求周长的最小值
解：设长，宽分别为a,b，则a*b=p
因为a+b≥2√ab，所以2(a+b)≥4√ab=4√p
周长最小值为4√p
例三 长方形的周长为p，求面积的最大值
解：设长，宽分别为a,b，则2(a+b)=p
因为a+b=p/2≥2√ab，所以ab≤p^2/16
面积最大值是p^2/16
3.均值不等式
均值不等式百科名片1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+。
+1/an) 2、几何平均数：Gn=(a1a2。an)^(1/n) 3、算术平均数：An=(a1+a2+。
+an)/n 4、平方平均数：Qn=√ （a1^2+a2^2+。+an^2）/n 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。
均值不等式的简介概念： 1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+。+1/an) 2、几何平均数：Gn=(a1a2。
an)^(1/n) 3、算术平均数：An=(a1+a2+。+an)/n 4、平方平均数：Qn=√ [（a1^2+a2^2+。
+an^2）/n] 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号 均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[(a1^r+a2^r+。an^r)/n]^(1/r)（当r不等于0时）； （a1a2。
an）^(1/n)（当r=0时）（即D(0)=(a1a2。an)^(1/n)） 则有：当r 注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2) 由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤（a+b）/2≤√〔（a^2+b^2）/2〕均值不等式的变形（1）对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab （当且仅当a=b时取“=”号），a^2+b^2>0>-2ab (2)对非负实数a,b，有a+b≥2√（a*b）≥0，即（a+b）/2≥√（a*b）≥0 (3)对负实数a,b，有a+b<0<2√（a*b） (4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b) (5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0 (6)对非负数a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥ab (7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2 (8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac (9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2 (10)对实数a,b,c，有（a+b+c）/3>=(abc)^(1/3)均值不等式的证明方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等 用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
引理：设A≥0,B≥0，则（A+B）^n≥A^n+nA^(n-1)B。 注：引理的正确性较明显，条件A≥0,B≥0可以弱化为A≥0,A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）。
原题等价于：（（a1+a2+…+an ）/n)^n≥a1a2…an。 当n=2时易证； 假设当n=k时命题成立，即 （（a1+a2+…+ak ）/k)^k≥a1a2…ak。
那么当n=k+1时，不妨设a(k+1)是a1,a2 ，…，a(k+1)中最大者，则 k a(k+1)≥a1+a2+…+ak。 设s=a1+a2+…+ak, {[a1+a2+…+a(k+1)]/(k+1)}^(k+1) ={s/k+[k a(k+1)-s]/[k(k+1)]}^(k+1) ≥（s/k）^(k+1)+(k+1)(s/k)^k[k a(k+1)-s]/k(k+1) 用引理 =（s/k）^k* a(k+1) ≥a1a2…a(k+1)。
用归纳假设 下面介绍个好理解的方法 琴生不等式法 琴生不等式：上凸函数f(x),x1,x2,。xn是函数f(x)在区间（a,b）内的任意n个点， 则有：f[(x1+x2+。
+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+。+f(xn)] 设f(x)=lnx,f(x)为上凸增函数 所以，ln[(x1+x2+。
+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+。+ln(xn)]=ln[(x1*x2*。
*xn)^(1/n)] 即（x1+x2+。+xn）/n≥（x1*x2*。
*xn）^(1/n)均值不等式的应用例一 证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0) 证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[（√x）*（√x）*(1/x)]^(1/3)=3 所以，2√x≥3-1/x 例二 长方形的面积为p，求周长的最小值 解：设长，宽分别为a,b，则a*b=p 因为a+b≥2√（ab），所以2(a+b)≥4√（ab）=4√p 周长最小值为4√p 例三 长方形的周长为p，求面积的最大值 解：设长，宽分别为a,b，则2(a+b)=p 因为a+b=p/2≥2√（ab），所以ab≤p^2/16 面积最大值是p^2/16。
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