众文网1.均值不等式及应用
4/x+9/y=1，解个x出来：
4/x=1-9/y ,
4=(1-9/y)*x ,
x=4/(1-9/y) ,
由均值不等式：
4/x+9/y >= 2*根号（36/xy）
把前面解的x带到均值不等式左边：
4/[4/(1-9y)]+9/y >= 2*根号（36/xy）
化一下，左边剩个1:
1 >= 2*根号（36/xy）,
1/2 >；= 根号（36/xy）,
平方：
1/4 >= 36/xy ,
1/144 >= 1/xy ,
因此，xy>=144
C
2.对数均值不等式的应用
对数中最常用的是以e为底数的对数通常用于㏑ e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。
以e为底数，许多数学或者自然模型的公式都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。 涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式，它们的模型可以用对数来建立一个数学上的对应关系。
比如：一缕袅袅升上蓝天的炊烟，一朵碧湖中轻轻荡开的涟漪，数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁星…… 螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达： φkρ=αe 其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。 而不等式呢，则可以使我们在限定的范围内寻找最优答案，在线性规划中就有很好的体现。
还有工作中的要求，工作效率，技术指标，在实际中都有很具体的范围要求。比如成品率不低于80%，不高于多少，那么我们计算成本的时候这个不等式就派上用场了。
另外在科学技术中，许多模糊不能定量的参数，但又特别需要的，那我们就要模糊分析了。其中的一个范围是很重要的因素了。
3.均值不等式的妙用
课题：均值不等式的应用（1课时） 授课时间：2005年11月17号 授课班级：北京市陈经纶中学高三（5）班 授课地点：北京市陈经纶中学高三（5）班教室 授课教师：北京市陈经纶中学 黎宁 考试要求： 掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单应用. 教学目标： 1.使学生进一步掌握算术平均数与几何平均数的相关知识，能利用均值定理解决相关问题； 2.通过对均值不等式的应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力. 3.在学习和解决问题的过程中，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，培养学生严谨的科学态度及良好的思维习惯， 形成积极探索的研究态度. 教学重点和难点： 均值定理使用的条件既是教学重点又是教学的难点. 教学手段：计算机辅助教学 教学方法；启发式，谈话式 教学过程： 一、复习引入：： 均值不等式以及与之相关的不等式内容 均值定理及重要变形 基本形式 其他形式 若，则 （当且仅当 时取“=”）. 若，则 （当且仅当 时取“=”） 若，则 （当且仅当 时取“=”） 若，则 （当且仅当 时取“=”） 若，则 （当且仅当 时取“=”） 若，则 （当且仅当 时取“=”） 若，则 （当且仅当 时取“=”） 指出：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”. （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” 师：均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有着广泛的应用. 师：均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围，证明不等式、解决实际应用问题方面有着广泛的应用，下面举例说明： 二、应用举例： 1、均值定理在求最值问题中的应用： 例1、（01年.北京春）若实数满足 ，则 的最小值是 . 分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且 定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解： 都是正数， ≥ 当且仅当 时等号成立，由及得 即当 时， 的最小值是6. 例2.若 是正数，则 的最小值是（ ） A.3 B. C.4 D. 解： = = ≥1+2+1=4 当且仅当 ，即 时等号成立 故选C。
例3.设 ，求函数 的最大值。 解：∵ ∴ 当且仅当 即 时等号成立。
二.均值定理在比较大小中的应用： 例4.(00年.全国卷) 若，则 的大小关系是 . 分析：∵ ∴ （ ∴R>Q>P。 2、求最值： 三.均值定理在求变量取值范围中的应用： 例5.若正数 满足 ，则 的取值范围是 . 分析： 因为 是正数 ∴ ∵∴ 当且仅当 即时等号成立。
故 的取值范围是[9，+∞）。 点评：①本题考查不等式 的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式 出发求得 的范围，关键是寻找到 之间的关系，由此想到不等式 ，这样将已知条件转换为含 的不等式，进而解得 的范围. 三、课堂小结： 1、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”，和将“积式”转化为“和式”的“放缩功能”. 2、创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号成立. 3、注意均值定理成立的条件：“一正，二定，三取等”。
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