浅谈数列求和的几种方法毕业论文
1.数列求和解决生活问题的论文
这个问题你找对人了。我一年前也写过一篇关于数列求和与递归关系的论文(我也是高中生)。下面按我说的做:
构思部分:
首先,你需要明确研究对象。现在你的研究对象是一种没学过的函数。
其次,看着你的函数,然后思考:这是一个什么函数,指数 对数 三角 双曲 幂 反三角 伽玛 贝塔还是西格马,简单函数还是复合函数,初等函数还是高等函数。
再次,思考该函数的以下性质:
1 定义域和值域
2 单调性 极值 凹凸性 拐点 渐进线 渐进点 连续(离散)性 周期性 奇偶性 渐开线 渐屈线 包络线 等等等等
3 f(x+y) f(x-y) f(cx) f(xy) f(x/y)等能否展开
4 看该函数是否满足一些非常对称的等式或不等式
5 该函数的迭代 复合后有没有什么特殊性质
6 几何上的特殊意义
7 生活生产中的应用
8 其他
第四,开始研究以上性质。
第五,考虑如何利用高中数学知识证明以上性质。例如讨论该函数的极值,有两种办法:1 通过变形,把该函数的极值问题化归为二次函数等已知函数的极值问题,或利用单调性解决之;2 对该函数求导,利用导数解决问题。
写作部分:
引入:先写一个背景材料 历史回顾什么的,神吹海侃一番,把前人对该函数的研究简单介绍一下。然后写一个内容提要,把你要讲的内容简单说明一下,最重要的是指出你的研究的独创性。
正文开头:如果该函数有特殊的几何意义或在生活生产中有重要应用,不妨以此作为引入的材料。如果没有,那就只好直接进入主题。
正文主要内容:把前面提到的性质有条例地叙述一遍。
结尾:把你在论文中参考到的内容的出处罗列出。然后交给打字员,大功告成!
基本上就这过程,好好干吧!
祝你好运!
2.数列求和的几种方法
1. 公式法:等差数列求和公式: Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2 等比数列求和公式: Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)2.错位相减法 适用题型:适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. Sn=a1b1+a2b2+a3b3+。
+anbn 例如: an=a1+(n-1)d bn=a1·q^(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4。.+anbn qTn= a1b2+a2b3+a3b4+。
+a(n-1)bn+anb(n+1) Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+。bn[an-a(n-1)]-anb(n+1) Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+。
bn) =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/(1-q)3.倒序相加法 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个(a1+an) Sn =a1+ a2+ a3+。
+an Sn =an+ a(n-1)+a(n-3)。
+a1 上下相加 得到2Sn 即 Sn= (a1+an)n/24.分组法 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 例如:an=2^n+n-15.裂项法 适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)-f(n),然后累加时抵消中间的许多项。 常用公式: (1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (2)1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)] (3)1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)] (4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b) (5) n·n!=(n+1)!-n! [例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和. 解:an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (裂项) 则Sn =1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)(裂项求和)= 1-1/(n+1)= n/(n+1) 小结:此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了。
只剩下有限的几项。 注意: 余下的项具有如下的特点 1余下的项前后的位置前后是对称的。
2余下的项前后的正负性是相反的。6.数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,有如下步骤: (1)证明当n取第一个值时命题成立; (2)假设当n=k(k≥n的第一个值,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。
例:求证:1*2*3*4 + 2*3*4*5 + 3*4*5*6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5 证明: 当n=1时,有: 1*2*3*4 + 2*3*4*5 = 2*3*4*5*(1/5 +1) = 2*3*4*5*6/5 假设命题在n=k时成立,于是: 1*2*3*4 + 2*3*4*5 + 3*4*5*6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 则当n=k+1时有: 1*2*3*4 + 2*3*4*5 + 3*4*5*6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = 1*2*3*4 + 2*3*4*5 + 3*4*5*6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1) = [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5 即n=k+1时原等式仍然成立,归纳得证7.通项化归 先将通项公式进行化简,再进行求和。 如:求数列1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,……的前n项和。
此时先将an求出,再利用分组等方法求和。8.并项求和:例:1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n (并项) 求出奇数项和偶数项的和,再相减。
3.数列求和有哪几种方法
某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
4.数列求和的常用方法
(1)公式求和法:
①等差数列、等比数列求和公式
②重要公式:1+2+…+n=
1
2 n(n+1);
1 2 +2 2 +…+n 2 =
1
6 n(n+1)(2n+1);
1 3 +2 3 +…+n 3 =(1+2+…+n) 2 =
1
4 n 2 (n+1) 2 ;
(2)裂项求和法:将数列的通项分成两个式子的代数和,即a n =f(n+1)-f(n),然后累加抵消掉中间的许多项,这种先裂后消的求和法叫裂项求和法.用裂项法求和,需要掌握一些常见的裂项,如:a n =
1
( A n +B)( A n +C) =
1
C-B (
1
A n +B -
1
An+C );
1
n(n+1) =
1
n -
1
n+1 ;
(3)错位相减法:对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和,常用错位相减法.a n =b n c n ,其中{b n }是等差数列,{c n }是等比数列
(4)倒序相加法:S n 表示从第一项依次到第n项的和,然后又将S n 表示成第n项依次反序到第一项的和,将所得两式相加,由此得到S n 的一种求和方法.
(5)通项分解法(分组求和法):有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.a n =b n ±c n
(6)并项求和法:把数列的某些项放在一起先求和,然后再求S n .如:100 2 -99 2 +98 2 -97 2 +…+2 2 -1 2 的和.
(7)利用通项求和法:先求出数列的通项,然后进行求和
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